Répartition galoisienne d'une classe d'isogénie de courbes elliptiques
Résumé
Dans cet article, on montre que les orbites sous Galois des invariants modulaires associés à des courbes elliptiques complexes sans multiplication complexe variant dans une même classe d'isogénie s'équidistribuent dans la courbe modulaire vers la probabilité hyperbolique. La démonstration repose sur des arguments de théorie ergodique, notamment le théorème de Ratner (cf. [A. Eskin et H. Oh, Ergodic theoretic proof of equidistribution of Hecke points, Ergodic Theory Dynam. Systems26(1) (2006) 163-167]), ainsi que sur le théorème de l'image ouverte de Serre [J.-P. Serre, Abelian l-Adic Representations and Elliptic Curves (W. A. Benjamin, New York, 1968); Propriétés Galoisiennes des points d'ordre fini des courbes elliptiques, Invent. Math.15(4) (1972) 259-331] dans le cas où les invariants modulaires considérés sont algébriques sur Q, et des résultats de G. Shimura dans le cas transcendant [Introduction to the Arithmetic Theory of Automorphic Functions, Publications of the Mathematical Society of Japan (Princeton University Press, Princeton, NJ, 1994)].