The linearity of the transformations between inertial frames results solely from their definition. Application to Lorentz and Galilean transformations - Archive ouverte HAL Access content directly
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## La linéarité des transformations entre référentiels inertiels résulte uniquement de leur définition. Application aux transformations de Galilée et de Lorentz.

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Alain Triboix
• Function : Author
• PersonId : 1152825

#### Abstract

A simplified and then general demonstration is presented here showing that the transformation formulae between the space-time coordinates of two kinematically equivalent reference frames (called Galilean or inertial reference frames) are linear solely through their definition: 'Two reference frames R and R′ are kinematically equivalent when a uniform translational motion of any particle with respect to R is also a uniform translational motion with respect to R'. The basis of this demonstration is to maintain a general form for the transformation formulae between two reference frames R and R′. The acceleration in R' is then calculated, reflecting the fact that if the acceleration of a particle is zero in a reference frame R, it must also be zero in a kinematically equivalent reference frame R'. Our approach clearly separates the proof of the linearity of the transformation formulae and the demonstration of the Galilean and Lorentz transformation formulae. Neither the invariance of the speed of light in vacuum nor the assumption of space-time homogeneity are used. No assumptions are made a priori on the relative motion of these reference frames. However, it follows from our demonstration that two kinematically equivalent reference frames are necessarily driven by a relative uniform translational motion. We then show that only the Galilean transformation allows an infinite velocity. Otherwise, we come to the conclusion that there must be a speed limit U_l independent of the reference frames which, in the strict context of kinematics, is not necessarily the speed of light in vacuum. We then obtain the Lorentz transformation.
Nous montrons avec une démonstration simplifiée puis générale que les formules de transformation entre les coordonnées spatio-temporelles de deux référentiels cinématiquement équivalents (dits inertiels ou galiléens) sont linéaires à partir de la seule définition que nous leur donnons : « Deux référentiels R et R’ sont cinématiquement équivalents lorsqu’un mouvement de translation uniforme d’une particule quelconque par rapport à R est également un mouvement de translation uniforme par rapport à R’ ». La base de cette démonstration est de conserver une forme générale pour les formules de transformation entre deux référentiels R et R’. On calcule alors l’accélération dans R’ et on traduit le fait que si l’accélération d’une particule est nulle dans un référentiel R, elle doit également être nulle dans un référentiel R’ cinématiquement équivalent. Notre démarche sépare clairement la preuve de la linéarité des formules de transformation et la démonstration des formules de transformation de Galilée et de Lorentz. Nous ne faisons appel ni à l’invariance de la vitesse de la lumière dans le vide ni à l’hypothèse d’homogénéité de l’espace-temps. Aucune hypothèse n'est faite à priori sur le mouvement relatif de ces référentiels. Mais il résulte de notre démonstration que deux référentiels cinématiquement équivalents sont nécessairement animés d’un mouvement relatif de translation uniforme. Nous montrons ensuite que seule la transformation de Galilée permet une vitesse infinie. Dans le cas contraire nous arrivons à la conclusion qu’il doit exister une vitesse limite U_l indépendante des référentiels qui, dans le cadre strict de la cinématique, n’est pas nécessairement la vitesse de la lumière dans le vide. Nous obtenons alors la transformation de Lorentz.

### Dates and versions

hal-03740809 , version 1 (03-08-2022)

### Identifiers

• HAL Id : hal-03740809 , version 1

### Cite

Alain Triboix. The linearity of the transformations between inertial frames results solely from their definition. Application to Lorentz and Galilean transformations. 2022. ⟨hal-03740809⟩

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