Second gradient model for weakly continuous media and mechanics of Eshelby applied to indentation of glass

Modèle de second gradient adapté aux milieux faiblement continus et mécanique d'Eshelby appliquée à l'indentation du verre

Nirmal Antonio Tamarasselvame (1)

1 IRMAR - Institut de Recherche Mathématique de Rennes

In a first part, we deal with the weakly continuous media according to non Riemannian geometry. We consider a solid body modelled by a Riemannian manifold endowed with an affine connection. This model is an extension of the one which considers an Euclidean connection, which derives from the metric tensor induced by the ambiant space. The mass per volume unit may be assumed non constant and some defects, described by discontinuity fields of scalar fields or vectorial fields defined on the manifold, may appear in the body. In a such case, in addition of the metric, we necessary use the torsion introduced by Cartan or the curvature, both tensors associated with the affine connection. This corresponds to a second gradient continuum model. The investigations take into account the effects of these tensor fields on the analysis of the deformation of the body. As application, we describe the attenuation of wave propagation within a non homogeneous body. In a second part, we deal with the modelling of the Vickers indentation of glass. We consider a model which uses the schema of inclusion of Eshelby into a semi-infinite matrix, to analyse the stress and displacement fields during the loading process. The objective is to determine the densification of the glass beneath the indenter. The semi-analytical results are positively compared with experimental data which are issue from LARMAUR.

Dans une première partie, notre étude porte sur les milieux faiblement continus avec une approche basée sur la géométrie non riemannienne. Nous considérons un corps solide déformable modélisé par une variété riemannienne munie d'une connexion affine. Un tel modèle est une extension d'un autre qui considère une connexion euclidienne, laquelle dérive du tenseur métrique imposé par l'espace ambiant. La masse par unité de volume peut être supposée non constante et le corps peut contenir des défauts décrits par des champs de discontinuité de champs scalaires ou de champs vectoriels définis sur la variété. Dans ce cas, en plus du tenseur métrique, nous utilisons nécessairement la torsion introduite par Cartan ou la courbure, deux tenseurs associés à la connexion affine. Nous disposons ainsi d'un modèle de milieu continu du second gradient. Les investigations prennent en compte les effets de ces champs tensoriels dans l'analyse de la déformation du corps. Comme application, nous décrivons l'atténuation spatiale d'une onde propagée dans un milieu non homogène. Dans une seconde partie, notre étude porte sur une modélisation de l'indentation Vickers du verre. Nous considérons un modèle qui utilise le schéma d'inclusion d'Eshelby dans une matrice semi-infinie, pour analyser les champs de contrainte et de déplacement durant le processus de charge. L'objectif est de déterminer la densification du verre sous l'indenteur. Les résultats semi-analytiques obtenus sont confrontés de manière positive avec des données expérimentales fournies par le LARMAUR.

Mots clés: Continuous media; Non-Riemannian geometry; Elasticity; Wave propagation; Indentation of glass

Mots clés: Milieux continus; Géométrie non-riemannienne; Élasticité; Propagation d'ondes; Indentation du verre

Domaines: Mathématiques [math]

Nirmal Antonio Tamarasselvame. Modèle de second gradient adapté aux milieux faiblement continus et mécanique d'Eshelby appliquée à l'indentation du verre. Mathématiques [math]. Université Rennes 1, 2010. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00557871⟩