Théorèmes de renouvellement pour des fonctionnelles additives associées à des chaînes de Markov fortement ergodiques
Résumé
The purpose of this work is to extend the renewal theorems of the independent case to Markov additive functionals. Specifically, this thesis generalizes the one-dimensional results obtained by Yves Guivarc'h and the multidimensional ones established by Martine Babillot. As in these earlier works, the driving Markov chain is assumed to be strongly ergodic. The proofs are based on the Nagaev-Guivarc'h method involving both Fourier techniques and operator perturbation theory. The Fourier analysis (Chapter 2) borrows Babillot's method, but here the distribution-type arguments and the use of modified Bessel functions are replaced by some more elementary computations. The material of functional analysis is presented in Chapter 3. In Chapter 4, the Markov renewal theorems of Martine Babillot and Yves Guivarc'h are deduced from the results of the two previous chapters. In the Chapters 5 and 6, the spectral method is applied using the perturbation theorem due to Keller and Liverani in place of the standard perturbation theory. This new approach, inspired by the recent works of Hubert Hennion, Loïc Hervé and Françoise Pène, allows to significantly improve the Markov renewal theorems in terms of moment conditions. In particular, for the following models - the V-geometrical ergodic Markov chains, - the rho-mixing Markov chains, - the Lipschitz iterative models, the assumptions reduce to (almost) optimal moment conditions (with respect to the independent case). The applications to Lipschitz iterative models (Chapter 6) focus on the additive functionals associated with a double Markov chain involving the model and the underlying random Lipschitz maps. The results of this chapter are obtained by extending the definition of the weighted Lipschitz-type spaces introduced by Emile Le Page.
L'objectif de cette thèse s?inscrit dans une perspective d?extension des théorèmes de renouvellement du cas indépendant au cas de fonctionnelles additives markoviennes. Cette thèse prolonge les travaux de Yves Guivarc'h en dimension 1 et de Martine Babillot en dimension supérieure. Comme dans ces travaux, la chaîne de Markov qui génère la fonctionnelle additive est supposée fortement ergodique. Les preuves s?appuient sur la méthode spectrale de Nagaev-Guivarc'h, qui met en jeu des techniques de transformée de Fourier et de théorie de perturbation d'opérateurs. L'analyse de Fourier (Chapitre 2) s'inspire du travail de Martine Babillot, mais en remplaçant les arguments de distributions et le recours aux fonctions de Bessel modifiées par des calculs plus élémentaires. Les outils d'analyse fonctionnelle sont présentés au Chapitre 3. Dans le Chapitre 4, les théorèmes de renouvellement markoviens de M. Babillot et Y. Guivarc'h sont alors déduits des résultats des deux précédents chapitres. Dans les Chapitres 5 et 6, on applique la méthode spectrale en remplaçant la théorie usuelle de perturbation d'opérateurs par le théorème de Keller et Liverani. Cette nouvelle approche, inspirée des travaux récents de Hubert Hennion, Loïc Hervé et Françoise Pène, permet d'améliorer significativement les énoncés des théorèmes de renouvellement en termes de conditions de moment. En particulier, pour les modèles suivants - les chaînes de Markov V-géométriquement ergodiques, - les chaînes de Markov rho-mélangeantes, - les modèles itératifs lipschitziens, on démontre que les hypothèses se réduisent à des conditions de moment (presque) optimales (en comparaison avec le cas indépendant). Les applications aux modèles itératifs lipschitziens (chapitre 6) sont relatives aux fonctionnelles additives associées à une chaîne double prenant en compte les transformations lipschitziennes aléatoires sous-jacentes. Les résultats de ce chapitre sont obtenus en généralisant la définition des espaces de fonctions Lipschitz à poids introduits par Emile Le Page.
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