ASYMPTOTICAL METHODS FOR HELMHOLTZ OR NAVIER-STOKES TYPE EQUATIONS - Université de Rennes Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2011

ASYMPTOTICAL METHODS FOR HELMHOLTZ OR NAVIER-STOKES TYPE EQUATIONS

MÉTHODES ASYMPTOTIQUES POUR LES ÉQUATIONS DE TYPE HELMHOLTZ OU NAVIER-STOKES

Résumé

In this thesis, we study two differential problems which depend on a small parameter ε. We study the asymptotic of the solutions when ε tends to 0. The first problem deals with the high-frequency Helmholtz equation. We construct a non-trapping potential which does not satisfy the refocusing condition introduced by F. Castella. We prove that the Hamiltonian tra jectories (associated with this potential) issued from 0 which go back to the origin form a submanifold of dimension d − 1, where d denotes the space dimension. We show that the solution converges to a perturbation of the out-going solution with coefficients frozen at 0. Then we study a Navier-Stokes type equation forced by a polarised and oscillating source. We exhibit a family of exact solutions to the problem. We study the stability of this solution when we perturb it at the initial time. We construct an approximated solution of this problem thanks to a boundary layer in time in t = 0. In particular, it shows that interactions of oscillating waves, which propagate at different scales, can be modelised at macroscopic scales by some creation of dissipation. Finally, we justify the convergence of the approximated solution towards the exact solution by performing some energy methods.
Dans cette thèse, nous étudions deux problèmes différentiels dépendant d'un paramètre ε et étu- dions l'asymptotique des solutions lorsque ce paramètre tend vers 0. Le premier problème est lié à l'équation de Helmholtz haute-fréquence. On construit un potentiel non captif ne satisfaisant pas l'hypothèse de refocalisation des rayons introduite par F. Castella. On montre que l'ensemble des tra jectoires hamiltoniennes (associées au potentiel construit) issues de l'origine et qui reviennent en 0 forme une sous-variété de dimension d − 1, où d est la dimension de l'espace. On montre alors que la solution de l'équation de Helmholtz converge vers une perturbation de la solution de Helmholtz avec condition de radiation à l'infini et coefficients figés en 0. Dans un second temps, nous étudions une équation de Navier-Stokes forcée par une source po- larisée fortement oscillante. On exhibe une famille de solutions exactes. On étudie alors la stabilité de cette famille lorsqu'on la perturbe à l'instant initial. On construit une solution approchée du pro- blème à l'aide d'une couche limite à l'instant initial (t=0). Ce développement montre en particulier que des interactions d'ondes, se propageant à des échelles différentes, peuvent se traduire au niveau macroscopique par une augmentation de la viscosité. Enfin, on justifie la convergence de la solution approchée vers la solution exacte à l'aide de méthodes d'énergie.
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Dates et versions

tel-00606023 , version 1 (05-07-2011)

Identifiants

  • HAL Id : tel-00606023 , version 1

Citer

Aurélien Klak. ASYMPTOTICAL METHODS FOR HELMHOLTZ OR NAVIER-STOKES TYPE EQUATIONS. Mathematics [math]. Université Rennes 1, 2011. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00606023⟩
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