Poisson boundaries of quantum operations and quantum trajectories
Frontières de Poisson d'opérations quantiques et trajectoires quantiques
Résumé
The study of this thesis takes place in the mathematical foundations of quantum information theory and quantum physics, through the study of the set of fixed points (also called Poisson boundary) of a quantum operation, and the study of quantum trajectories in infinite dimension. At first, we precise the Poisson boundary of quantum operations. Then we answer negatively some conjectures appearing in the work of Arias et al. concerning Poisson boundaries of quantum operations. In second place, we identify the noncommutative Poisson boundary on a s-discrete measured groupoid. This identification enables us to give another proof of the amenability of the Poisson extension of the groupoid. At last, results concerning asymptotic purification of quantum trajectories taking values in a strongly compact algebra are obtained.
Le travail de cette thèse s'inscrit dans l'étude des fondements mathématiques de la théorie quantique de l'information et de la physique quantique, à travers l'étude de l'ensemble des points fixes (appelé aussi frontière de Poisson) d'opérateurs quantiques et l'étude des trajectoires quantiques en dimension infinie. Nous précisons en premier lieu la frontière de Poisson d'un opérateur quantique, puis nous répondons négativement aux conjectures soulevées par Arias et al. sur la frontière de Poisson d'un opérateur quantique. Dans un second temps, nous identifions la frontière de Poisson non-commutative d'un groupoïde s-discret mesuré permettant ainsi de retrouver un résultat de moyennabilité de l'extension de Poisson du groupoïde. Enfin nous obtenons des résultats de purification asymptotique des trajectoires quantiques à valeurs dans une algèbre fortement compacte.
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