About the Schneider-Lang theorem
Sur le théorème de Schneider-Lang
Résumé
The Schneider-Lang theorem is a classic transcendence criterion for complex numbers. It asserts that there are only finitely many points at which algebraically independent meromorphic functions of finite order of growth can simultaneously take values in a number field, when satisfying a polynomial differential equation with coefficients in this given number field. In this Thesis, we prove geometrical generalizations of this criterion, holding for both the field of complex numbers and a p-adic field. These results are based on suitable Schwarz lemmas we have been able to establish. In dimension one we have proven a theorem for formal subschemes admitting a uniformization by an algebraic affine curve. In the higher dimensional case, our theorem applies to formal subschemes with a uniformization by a product of open subsets of the affine line, under the additional hypothesis that the set of rational points is a Cartesian product. The proofs of these results rely on the slopes method developed by J.-B. Bost and make use of the language of Arakelov geometry.
Le théorème de Schneider-Lang est un critère classique de transcendance pour des nombres complexes. Il dit que des fonctions méromorphes d'ordre fini, vérifiant une équation différentielle polynomiale à coefficients dans un corps de nombres et algébriquement indépendantes ne peuvent prendre simultanément des valeurs dans ce corps de nombres qu'en un nombre fini de points. Dans cette thèse, nous démontrons des généralisations géométriques de ce critère, valables sur le corps des nombres complexes ou sur un corps p-adique. Ces résultats s'appuient sur des lemmes de Schwarz adaptés, que nous avons établis. En dimension 1, nous démontrons un théorème concernant des sous-schémas formels admettant une uniformisation par une courbe algébrique affine. En dimension supérieure, notre théorème s'applique à des sous-schémas formels admettant une uniformisation par un produit d'ouverts de la droite affine, sous l'hypothèse supplémentaire que l'ensemble des points étudiés est un produit cartésien. Les démonstrations de ces résultats reposent sur la méthode des pentes développée par J.-B. Bost et utilisent le langage de la géométrie d'Arakelov.
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