Geometry and dynamics on real algebraic surfaces

Géométrie et dynamique sur les surfaces algébriques réelles

Arnaud Moncet (1)

1 IRMAR - Institut de Recherche Mathématique de Rennes

This thesis deals with automorphisms of real algebraic surfaces, which are polynomial transformations with a polynomial inverse. The main concern is whether their restriction to the real locus reflects all the richness of the complex dynamics. This question is declined in two directions: the topological entropy and the Fatou set. For the first one, we introduce a purely geometric quantity depending only on the surface, and we call it concordance. Then we show that the ratio of real and complex entropies is linked to this quantity. The concordance is explicitely computed for many examples of surfaces, especially abelian surfaces which are broadly studied, as well assome K3 surfaces. In the second part, we are interested in the Fatou set, which corresponds to complex points for which the dynamics is simple. Thanks to previous results of Dinh and Sibony about closed positive currents, we prove that this set is hyperbolic in the sense of Kobayashi, after possibly deleting some curves which are fixed by (an iterate of) our transformation. From this property we deduce that, except for some exceptional cases in which the topology of the real locus is simple and the dynamics well understood, this real locus cannot be entirely contained in the Fatou set. Thus the complexity of the dynamics is observable on real points in most cases.

Cette thèse s'intéresse aux automorphismes des surfaces algébriques réelles, c'est-à-dire les transformations polynomiales admettant un inverse polynomial. La question centrale est de savoir si leur restriction au lieu réel reflète toute la richesse de la dynamique complexe. Celle-ci est traitée sous deux aspects : celui de l'entropie topologique et celui de l'ensemble de Fatou. Pour le premier point, on introduit une quantité purement géométrique, appelée concordance, qui ne dépend que de la surface. Puis on montre que le rapport des entropies réelle et complexe est relié à cette quantité. La concordance est calculée explicitement sur de nombreux exemples de surfaces, notamment les surfaces abéliennes qui sont traitées en détails, ainsi que certaines surfaces K3. Dans la seconde partie, on étudie l'ensemble de Fatou, qui correspond aux pointscomplexes pour lesquels la dynamique est simple. On montre, grâce à des résultats antérieurs de Dinh et Sibony sur les courants positifs fermés, que celui-ci est hyperbolique au sens de Kobayashi, quitte à lui enlever certaines courbes fixées par (unitéré de) notre transformation. Cette propriété permet d'en déduire que ce lieu réel ne peut pas être entièrement contenu dans l'ensemble de Fatou, hormis quelques cas exceptionnels où la topologie du lieu réel est simple et la dynamique bien comprise. Ainsi la complexité de la dynamique est presque toujours observable sur les points réels.

Mots clés: Surfaces; Algebraic; Differentiable dynamical systems; Automorphisms; Topological entropy

Mots clés: Géométrie algébrique réelle et complexe; Systèmes dynamiques; Automorphismes; Surfaces algébriques; Entropie topologique; Ensemble de Fatou; Courants positifs fermés

Domaines: Géométrie algébrique [math.AG]; Théorie des groupes [math.GR]

Arnaud Moncet. Géométrie et dynamique sur les surfaces algébriques réelles. Géométrie algébrique [math.AG]. Université Rennes 1, 2012. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00724509⟩