Mathematical study of gravitational kinetic equations by considering relativistic effects : stability, self-similar solutions.
Etude mathématique de modèles cinétiques pour la gravitation, tenant compte d'effets relativistes : stabilité, solutions autosimilaires.
Résumé
This document is concerned with the behavior of solutions near ground states for gravitational kinetic systems of Vlasov type. In the first chapter we build by variational methods some stationary states of the Vlasov-Manev system and we prove their orbital stability. The second chapter gives the existence of self-similar blow-up solutions to the "pur Vlasov-Manev" system near ground states. In the third chapter we obtain the orbital stability of a large class of ground states. New methods based on the rigidity of the flow are developed in these three chapters. In particular, they provide the uniqueness of ground states by avoiding the study of non-local Euler-Lagrange equations, they solve a variational problem with non finite constraints and they give the orbital stability of ground states which are not necessary obtained from variational methods. In the fourth chapter, we finish our analysis with a numerical study of the radialy symmetric Vlasov-Poisson system : we give numerical finite difference schemes which conserve the mass and the Hamiltonien of the system.
Cette thèse propose une étude mathématique du comportement des solutions autour d'états stationnaires pour des systèmes cinétiques gravitationnels de type Vlasov. Les trois premières parties présentent des résultats théoriques. Tout d'abord, par une ap- proche variationnelle, on construit des états stationnaires pour le système de Vlasov-Manev et on montre leur stabilité orbitale. Ensuite, on prouve l'existence de solutions autosimi- laires explosant en temps fini autour d'un état stationnaire pour le système dit de "Vlasov- Manev pur". Enfin on démontre la stabilité orbitale d'une large classe d'états stationnaires pour le système de Vlasov-Poisson relativiste. Ces résultats s'appuient sur de nouvelles méthodes utilisant la rigidité du flot. Celles-ci permettent notamment d'obtenir la séparation d'états stationnaires en évitant l'étude d'équations d'Euler-Lagrange non locales, de résoudre un problème variationnel avec une infinité de contraintes et de prouver la stabilité orbitale de solutions stationnaires non nécessairement obtenues de manière variationnelle. Dans la quatrième et dernière partie, nous étudions numériquement l'équation de Vlasov-Poisson en coordonnées radiales. Après avoir choisi un système de variables adéquates, nous présentons des schémas numériques de différences finies conservant la masse et le Hamiltonien du système.
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