Equivariant weight filtration for real algebraic varieties with action
Filtration par le poids équivariante pour les variétés algébriques réelles avec action
Résumé
Introduced by B. Totaro, the weight filtration on the homology of real algebraic varieties, which is a real analog to P. Deligne's weight filtration for complex algebraic varieties, has been realized via a filtered chain complex by C. McCrory and A. Parusinski, especially through the study of the induced spectral sequence. Among the several pieces of information held by this weight spectral sequence, one can recover the virtual Betti numbers. In this thesis, we show the existence of an equivariant weight filtration on the equivariant homology of real algebraic varieties equipped with a finite group action. We realize it by a filtered complex and, via the construction of several spectral sequences, we make significative progress toward the extraction of additive invariants. During our study, we functorially define a weight complex with action and we show an analog of the Smith exact sequence, taking into account the Nash-constructible filtration, that follows from a result on the splitting of Nash manifolds with algebraic involutions. Through the construction of an invariant weight complex in the frame of algebraic involutions, we also recover G. Fichou's equivariant virtual Betti numbers. Finally, applying the relevant functors on T. Limoges' results on the products of real weight filtrations, we give results on the products of equivariant weight filtrations.
Introduite par B. Totaro, la filtration par le poids sur l'homologie des variétés algébriques réelles, analogue réel de la filtration par le poids de P. Deligne sur les variétés algébriques complexes, a été réalisée via un complexe de chaînes filtré par C. McCrory et A. Parusinski, qui en ont enrichi la compréhension, notamment à travers l'étude de la suite spectrale induite. Au milieu des nombreuses informations recelées par cette suite spectrale de poids, on retrouve les nombres de Betti virtuels. Dans cette thèse, on montre l'existence d'une filtration par le poids équivariante sur l'homologie équivariante des variétés algébriques réelles munies d'une action d'un groupe fini. On la réalise par un complexe filtré et, via la construction de plusieurs suites spectrales, on effectue des avancées significatives pour extraire des invariants additifs. Lors de notre étude, on définit fonctoriellement un complexe de poids avec action et on montre qu'un résultat de découpage d'une variété Nash munie d'une involution algébrique entraîne un analogue de la suite exacte de Smith, tenant compte de la filtration Nash-constructible. A travers la construction d'un complexe de poids invariant dans le cadre d'involutions algébriques, on retrouve également les nombres de Betti virtuels équivariants de G. Fichou. Enfin, en appliquant les bons foncteurs aux résultats sur les produits de filtrations par le poids réelles de T. Limoges, on donne des résultats sur les produits de filtrations par le poids équivariantes.
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