Contributions to the study of function spaces and PDE for a class of domains with fractal self-similar boundary

Contributions à l'étude d'espaces de fonctions et d'EDP dans une classe de domaines à frontière fractale auto-similaire

Thibaut Deheuvels (1)

1 ACES - Ambient computing and embedded systems

We study some questions of analysis in view of the modeling of tree-like structures, such as the human lungs. More particularly, we focus on a class of planar ramified domains whose boundary contains a fractal self-similar part. We start by studying some function spaces defined for this class of domains. We first study the Sobolev regularity of the traces on the fractal part of the boundary of functions in some Sobolev spaces of the ramified domains. Then, we study the existence of Sobolev extension operators for the ramified domains we consider. Finally, we compare the notion of self-similar trace on the fractal part of the boundary with more classical definitions of trace. In the last part, we focus on a mixed transmission problem between the ramified domain and the exterior domain. The fractal part of the boundary is the interface of the problem. We propose a numerical approach where we approximate the self-similar interface by a prefractal interface. The proposed strategy is based on a self-similar method for the resolution of the inner problem coupled with an integral method for the resolution of the outer problem.

Cette thèse est consacrée à des questions d'analyse en amont de la modélisation de structures arborescentes, comme le poumon humain. Plus particulièrement, nous portons notre intérêt sur une classe de domaines ramifiés du plan, dont la frontière comporte une partie fractale auto-similaire. Nous commençons par une étude d'espaces de fonctions dans cette classe de domaines. Nous étudions d'abord la régularité Sobolev de la trace sur la partie fractale de la frontière de fonctions appartenant à des espaces de Sobolev dans les domaines considérés. Nous étudions ensuite l'existence d'opérateurs de prolongement sur la classe de domaines ramifiés. Nous comparons finalement la notion de trace auto-similaire sur la partie fractale du bord à des définitions plus classiques de trace. Nous nous intéressons enfin à un problème de transmission mixte entre le domaine ramifié et le domaine extérieur. L'interface du problème est la partie fractale du bord du domaine. Nous proposons ici une approche numérique, en approchant l'interface fractale par une interface préfractale. La stratégie proposée ici est basée sur le couplage d'une méthode auto-similaire pour la résolution du problème intérieur et d'une méthode intégrale pour la résolution du problème extérieur.

Mots clés: Function spaces; Fractal analysis; Trace theorem; Extension; Partial differential equations; Transmission problem; Fractal interface.

Mots clés: Espaces de fonctions; Analyse fractale; Théorème de trace; Prolongement; Équations aux dérivées partielles; Problème de transmission; Interface fractale.

Domaines: Mathématiques générales [math.GM]

Thibaut Deheuvels. Contributions à l'étude d'espaces de fonctions et d'EDP dans une classe de domaines à frontière fractale auto-similaire. Mathématiques générales [math.GM]. Université de Rennes, 2013. Français. ⟨NNT : 2013REN1S025⟩. ⟨tel-00869946⟩