Siegel-Veech constants and volumes of strata of moduli spaces of quadratic differentials
Constantes de Siegel-Veech et volumes de strates d'espaces de modules de différentielles quadratiques
Résumé
We study Siegel–Veech constants for flat surfaces and their links with the volumes of some strata of moduli spaces of quadratic differentials. Siegel–Veech constants give the asymptotics of the number of periodic geodesics in flat surfaces. For certain flat surfaces such geodesics correspond to periodic trajectories in related rational billiards. Siegel–Veech constants are strongly linked to the dynamics of the geodesic flow in related moduli spaces by the formula of Eskin–Kontsevich–Zorich, giving the sum of the Lyapunov exponents for the Hodge bundle along the Teichmüller geodesic flow in terms of the Siegel–Veech constant for the corresponding stratum and an explicit combinatorial expression. This dynamics is related to the dynamics of the linear flow in the original flat surface by a renormalization process. Using some properties of this dynamics we prove a criterion to detect whether a complex curve, embedded in the moduli space of Riemann surfaces and endowed with a line subbundle of the Hodge bundle, is a Teichmüller curve. We study ratios of Siegel–Veech constants and deduce geometric informations about the periodic regions in flat surfaces. The links between Siegel–Veech constants and volumes of moduli spaces were completely studied by Eskin, Masur and Zorich in the Abelian case, and by Athreya, Eskin and Zorich in the quadratic case in genus zero. We generalize their results to the quadratic case in higher genus, using the description of configurations of saddle-connections performed by Masur and Zorich. We provide explicit computations of volumes of some strata of low dimension.
Nous étudions les constantes de Siegel–Veech pour les surfaces plates et leurs liens avec les volumes de strates d'espaces de modules de différentielles quadratiques. Les constantes de Siegel–Veech donnent l'asymptotique du nombre de géodésiques périodiques dans les surfaces plates. Pour certaines surfaces plates, de telles géodésiques correspondent aux trajectoires périodiques dans les billiards rationnels correspondants. Les constantes de Siegel–Veech sont fortement reliées à la dynamique du flot géodésique dans les espaces de modules correspondants, par la formule d'Eskin–Kontsevich–Zorich exprimant la somme des exposants de Lyapunov du fibré de Hodge le long du flot de Teichmüller en fonction de la constante de Siegel–Veech pour la strate considérée et d'un terme combinatoire explicite. Cette dynamique est liée à la dynamique du flot linéaire dans la surface plate de départ par un procédé de renormalisation. En utilisant certaines propriétés de cette dynamique nous montrons un critère qui détermine quand une courbe complexe plongée dans l'espace de module des surfaces de Riemann munie d'un sous-fibré en droites du fibré de Hodge est une courbe de Teichmüller. Nous étudions certains rapports de constantes de Siegel–Veech et en déduisons des informations géométriques sur les régions périodiques dans les surfaces plates. Les liens entre les constantes de Siegel–Veech et les volumes d'espaces de modules ont été étudiés complètement dans le cas abélien par Eskin, Masur et Zorich, et dans le cas quadratique en genre zéro par Athreya, Eskin et Zorich. Nous généralisons ces résultats au cas quadratique en genre supérieur, en utilisant la description des configurations de liens selles produite par Masur et Zorich. Nous calculons de façon explicite certains volumes de strates de petite dimension.
Origine : Version validée par le jury (STAR)