A few spectral asymptotics for the Dirichlet Laplacian : triangles, cones and conical layers

Quelques asymptotiques spectrales pour le Laplacien de Dirichlet : triangles, cônes et couches coniques

Thomas Ourmières-Bonafos (1)

1 IRMAR - Institut de Recherche Mathématique de Rennes

This thesis deals with the spectrum of the Dirichlet Laplacian in various two or three dimensional domains. First, we consider asymptotically flat triangles and cones with small aperture. These problems admit a semi-classical formulation and we provide asymptotic expansions at any order for the first eigenvalues and the associated eigenfunctions. These type of results is already known for thin domains with smooth profiles. For triangles and cones, we show that the problem admits now two different scales. Second, we study a family of conical layers parametrized by their aperture. Again, we consider the semi-classical limit when the aperture tends to zero: We provide a two-term asymptotics of the first eigenvalues and we prove a localization result about the associated eigenfunctions. We also estimate, for each chosen aperture, the number of eigenvalues below the threshold of the essential spectrum.

Cette thèse est consacrée à l'étude du spectre de l'opérateur de Laplace avec conditions de Dirichlet dans différents domaines du plan ou de l'espace. Dans un premier temps on s'intéresse à des triangles asymptotiquement plats et des cônes de petite ouverture. Ces problèmes admettent une reformulation semi-classique et nous donnons des développements asymptotiques à tout ordre des premières valeurs et fonctions propres. Ce type de résultat est déjà connu pour des domaines minces à profil régulier. Pour les triangles et les cônes, on prouve que le problème admet maintenant deux échelles. Dans un second temps, on étudie une famille de couches coniques indexées par leur ouverture. Là encore, on s'intéresse à la limite semi-classique quand l'ouverture tend vers zéro: on donne un développement asymptotique à deux termes des premières valeurs propres et on démontre un résultat de localisation des fonctions propres associées. Nous donnons également, à ouverture fixée, un équivalent du nombre de valeurs propres sous le seuil du spectre essentiel.

Mots clés: Schrödinger operator; Spectral theory; Eigenvalue problem; Semiclassical analysis; Asymptotic expansion of eigenvalues; Born-Oppenheimer approximation; Finite element method

Mots clés: Opérateur de Schrödinger; Théorie spectrale; Problème aux valeurs propres; Analyse semi-Classique; Développement asymptotique des valeurs propres; Approximation de type Born-Oppenheimer; Méthode des éléments finis

Domaines: Analyse numérique [math.NA]

Thomas Ourmières-Bonafos. Quelques asymptotiques spectrales pour le Laplacien de Dirichlet : triangles, cônes et couches coniques. Analyse numérique [math.NA]. Université de Rennes, 2014. Français. ⟨NNT : 2014REN1S143⟩. ⟨tel-01153180⟩