Arithmetic of the coarse moduli space of hyperelliptic curves of genus 3 in positive characteristic
Arithmétique des espaces de modules des courbes hyperelliptiques de genre 3 en caractéristique positive
Résumé
The aim of this thesis is to provide an explicit description of the moduli spaces of genus 3 hyperelliptic curves in positive characteristic. Over a field of odd characteristic, a parameterization of these moduli spaces is given via the algebra of invariants of binary forms of degree 8 under the action of the special linear group. Following the work of Lercier and Ritzenthaler, the case of fields of characteristic 3, 5 and 7 are still open. However, in these remaining cases, the classical methods in characteristic zero do not work in providing generators for these algebra of invariants. Hence we provide only separating invariants in characteristic 3 and 7. Furthermore our results in characteristic 5 show that this approach is not suitable.
From these results, we describe the stratification of the moduli spaces of genus 3 hyperelliptic curves in characteristic 3 and 7 according to the automorphism groups of the curves and implement algorithms to reconstruct a curve from its invariants. For this reconstruction step, we paid attention to arithmetic issues, like the obstruction to be a field of definition for the field of moduli.
Finally, in the case of characteristic 2, we use a different approach where the curves are defined by their Artin-Schreier models. The arithmetic structure of the ramification points of these curves stratifies the moduli space in 5 cases and we define in each case invariants that characterize the isomorphism class of hyperelliptic curves.
L’objet de cette thèse est une description effective des espaces de modules des courbes hyper- elliptiques de genre 3 en caractéristique positive. En caractéristique nulle ou impaire, on obtient une paramétrisation de ces espaces de modules par l’intermédiaire des algèbres d’invariants pour l’action du groupe spécial linéaire sur les espaces de formes binaires de degré 8, qui sont de type fini. Suite aux travaux de Lercier et Ritzenthaler, les cas des caractéristiques 3, 5 et 7 restaient ouverts. Pour ces derniers, les méthodes classiques de la caractéristique nulle sont inopérantes pour l’obtention de générateurs pour les algèbres d’invariants en jeu. Nous nous sommes donc contenté d’exhiber des invariants séparants en caractéristiques 3 et 7. En outre, nos résultats concernant la caractéristique 5 suggèrent l’inadéquation de cette approche pour ce cas.
À partir de ces résultats, nous avons pu expliciter la stratification des espaces de modules des courbes hyperelliptiques de genre 3 en caractéristiques 3 et 7 selon les groupes d’automorphismes et implémenter divers algorithmes, dont celui de Mestre, pour la reconstruction d’une courbe à partir de son module, i.e. la valeur de ses invariants. Pour cette phase de reconstruction, nous nous sommes notamment attachés aux questions arithmétiques, comme l’existence d’une obstruction à être un corps de définition pour le corps de modules et, dans le cas contraire, à l’obtention d’un modèle de la courbe sur ce corps de définition minimal.
Enfin pour la caractéristique 2, notre approche est différente, dans la mesure où les courbes sont étudiées via leurs modèles d’Artin-Schreier. Nous exhibons pour ceux-ci des invariants bigradués qui dépendent de la structure arithmétique des points de ramifications des courbes.
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