Essays on the sharing of the gains in cooperative game : interaction indices, Shapley-Owen value, Myerson value
Essais sur la répartition des gains dans un jeu coopératif : indice d'interaction, valeur de Shapley-Owen, valeur de Myerson
Résumé
A cooperative game with transferable utility (TU game) represents any situation where interacting agents have the possibility to communicate freely and make cooperative agreements to share a collective gain. There is a very rich literature on TU games and their extensions. In this thesis, we generalize several results of this literature. One of the fundamental problems of TU games is the sharing of the gains from cooperation between agents. The pure marginal contribution method (the marginal effect in terms of gain when each agent joins the other agents) seems to be the natural way to share such gains among agents. Casajus and Huettner (Casajus and Huettner, Games and Economic Behavior, 108, 37-48, 2018) criticize this approach and illustrate their point of view via a decomposition of the pure marginal contribution from the Shapley value (Shapley, Annals of Mathematics Studies, 28, 307-317,1953). Similarly Chantreuil et al. (Chantreuil et al., Social Choice and Welfare, 54, 1-16, 2019) suggest a decomposition of the Shapley value centered on the pure marginal contribution applied to the analysis of inequality. These two results are the starting point of the work in my thesis.In Chapter 1, we generalize these different approaches using interaction indices. By the axiomatic approach, we define a family of decomposable interaction indices, and build an example in the field of multi-criteria aid for decision.In the second chapter, we extend the approach used by Chantreuil et al. (2019) on TU games enriched with a coalition structure. We thus obtain three decompositions of the Shapley-Owen value (Owen, Mathematical Economics and Game Theory, 1977). This subsequently allows us to deduce three decompositions of the inequality indices. We then apply our work to inequality theory.Our third chapter is devoted to the axiomatization of the Shapley-Owen value. Casajus (Casajus, Discrete Applied Mathematics, 304, 212–219, 2021) defines first-order axioms as axioms based upon the marginal contribution. He defines a second-order axiom as an axiom based upon the double marginal contribution (marginal contribution of an agent i to the marginal contribution of another agent j when i leaves the game). Following this approach, the axioms used by Young (Young, International Journal of Game Theory, 14, 65–72, 1985) for the axiomatization of the Shapley value are first-order axioms. Casajus (2021) therefore offers a similar result with second-order axioms. We show that there is a relation between the axioms of Casajus (2021) and those of Young (1985). We deduce that the axiomatization of Casajus (2021) is a second version of that of Young (1985). Moreover, we propose a second version of the Shapley-Owen value axiomatization proposed by Khmelnitskaya and Yanovskaya (Khmelnitskaya and Yanovskaya, Mathematical Methods of Operations Research, 66, 255–261, 2007).In our fourth and last chapter, we focus on the problem of evaluating the productivity of a worker and the organization of workers in an uncertain production environment. Pongou and Tondji (Pongou and Tondji, Games and Economic Behavior, 108, 206–224, 2018) proposed some solutions concerning the evaluation of the productivity of a worker in such an environment. We add to this model a communication structure, that is, where workers can organize themselves into a network, and we evaluate the productivity of each worker.
Un jeu coopératif à utilité transférable (jeu TU) représente toute situation où des agents en interaction ont la possibilité de communiquer librement et de passer des accords contraignants de coopération pour un gain collectif à redistribuer. Il existe une littérature très riche sur les jeux TU et leurs extensions. Dans cette thèse, nous proposons plusieurs généralisations de différents résultats de cette littérature. L'un des problèmes fondamentaux des jeux TU est celui de la répartition des gains issus de la coopération entre les agents. La contribution marginale pure (l'effet marginal en terme de gain lorsque chaque agent rejoint l’ensemble des autres agents) semble être la méthode naturelle permettant de repartir les gains entre les agents. Casajus et Huettner (Casajus and Huettner, Games and Economic Behavior, 108, 37-48, 2018) critiquent cette approche et illustrent leurs propos via une décomposition de la contribution marginale pure à partir de la valeur de Shapley (Shapley, Annals of Mathematics Studies, 28, 307-317,1953.). De manière similaire Chantreuil et al. (Chantreuil et al., Social Choice and Welfare, 54, 1-16, 2019) proposent une décomposition de la valeur de Shapley centrée sur la contribution marginale pure dans le cadre de la théorie des inégalités. Ces deux résultats sont les points de départ de mes travaux de thèse.Dans le chapitre 1, nous généralisons ces différentes approches en utilisant les indices d'interaction (mesures permettant de capter l'interaction qui existe entre les agents). Par l'approche axiomatique, on définit une famille d'indices d'interaction décomposables. Un exemple illustratif en aide à la décision multi-critère est proposé.Dans le chapitre 2, nous étendons l'approche utilisée par Chantreuil et al. (2019) sur des jeux TU avec structure de coalitions. On obtient ainsi trois décompositions de la valeur de Shapley-Owen (Owen, Mathematical Economics and Game Theory, 1977) ; ce qui permet par la suite d'en déduire trois décompositions des indices d'inégalités. Un exemple d'application en théorie des inégalités est proposé.Notre troisième chapitre est consacré à l'axiomatisation de la valeur de Shapley-Owen. Casajus (Casajus, Discrete Applied Mathematics, 304, 212–219, 2021) définit les axiomes du premier ordre comme étant les axiomes énoncés à partir de la contribution marginale des agents. Il définit un axiome du second ordre comme étant un axiome énoncé à partir d'une double contribution marginale (contribution marginale d'un agent i à la contribution marginale d'un autre agent j quand i quitte le jeu). Suivant cette approche, les axiomes utilisés par Young (Young, International Journal of Game Theory, 14, 65–72, 1985) pour l'axiomatisation de la valeur de Shapley sont des axiomes du premier ordre. Casajus (2021) propose donc un résultat similaire avec les axiomes du second ordre. Nous montrons qu'il existe une relation entre les axiomes de Casajus (2021) et ceux de Young (1985). On déduit que l'axiomatisation de Casajus (2021) est une seconde version de celle de Young (1985). Nous proposons par la suite une seconde version de l'axiomatisation de la valeur de Shapley-Owen proposée par Khmelnitskaya et Yanovskaya (Khmelnitskaya and Yanovskaya, Mathematical Methods of Operations Research, 66, 255–261, 2007).Dans notre quatrième et dernier chapitre, nous nous intéressons au problème de l'évaluation de la productivité d'un travailleur et de l'organisation des travailleurs dans un environnement de production incertain. Pongou et Tondji (Pongou and Tondji, Games and Economic Behavior, 108, 206–224, 2018) ont proposé quelques solutions sur l'évaluation de la productivité d’un travailleur dans un tel environnement. Nous ajoutons à ce modèle une structure de communication, c'est-à-dire que les travailleurs peuvent s'organiser suivant un réseau, et nous évaluons la productivité de chaque travailleur.
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